Bilinear Applications and Tensors

In this chapter, a theoretical approach to the vector space of tensor of order 3 and the vector space of bilinear applications will be presented in order to present an isomorphism between these spaces and several properties about tensor and bilinear applications. With this well-defined isomorphism, we will present how to calculate the product between tensor of second derivatives and a vector, where such a product is used in several numerical methods such as Chebyshev-Halley class and others mentioned in the introduction. In addition, concepts on differentiability are presented, allowing a better understanding for the reader about second-order derivatives seen as a tensor

Classe de métodos Chebyshev-Halley inexata livre de tensores com convergência cúbica para resolução de sistemas não lineares e um estudo sobre o raio de convergência

Resumo: Esta tese introduz dois novos resultados sobre a Classe Chebyshev-Halley para resolução de sistemas não-lineares. Os métodos dessa classe possuem convergência cúbica, tendo portanto uma taxa de convergência superior a do método de Newton. Em contrapartida, esses métodos são mais caros computacionalmente, por necessitarem de derivadas de segunda ordem. O primeiro resultado apresentado _e um resultado teórico. Introduzimos um novo raio de convergência para a Classe Chebyshev-Halley, ou seja, mostramos que dado qualquer ponto inicial pertencente à uma bola centrada em uma solução com o novo raio, a sequência gerada por qualquer método da Classe Chebyshev-Halley é bem definida e converge para a respectiva solução com taxa de convergência cúbica. Comparamos com o raio utilizado na prova de convergência dada no livro Numerische Losung Nichtlinearer Gleichungen [70] para os métodos Halley, Chebyshev e Super-Halley, através de alguns exemplos. As comparações apresentadas sugerem perspectivas futuras, tais como determinar o raio ótimo de convergência. O segundo resultado apresentado é a introdução de uma nova classe de métodos, chamada Classe Chebyshev-Halley Inexata livre de tensores, cujo objetivo _e baratear o custo computacional da Classe Chebyshev-Halley, no que tange o uso da derivada de segunda ordem e a resolução de dois sistemas lineares. A grosso modo, não utilizamos informações de derivada de segunda ordem e os dois sistemas lineares, necessários para a obtenção do passo, podem ser resolvidos de maneira inexata. Além de apresentar a prova de convergência, mostramos que, dependendo das hipóteses, os métodos dessa classe podem ter taxa de convergência superlinear, quadrática, superquadrática e cúbica. Mostramos também que essas hipóteses são bastante razoáveis. Porém, comparações numéricas são apresentadas, mostrando uma melhoria significativa quando se usa a estratégia inexata livre de tensores, proposta nesta tese, nos métodos clássicos da Classe Chebyshev-Halley

Condições de otimalidade e de qualificação para problemas de programação não linear /

Orientadora : Elizabeth Wegner KarasCo-orientador : Ademir Alves RibeiroDissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciencias Exatas e Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduaçao em Métodos Numéricos em Engenharia. Defesa: Curitiba, 2007Inclui bibliografi

Condições de otimalidade e de qualificação para problemas de programação não linear /

Orientadora : Elizabeth Wegner KarasCo-orientador : Ademir Alves RibeiroDissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciencias Exatas e Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduaçao em Métodos Numéricos em Engenharia. Defesa: Curitiba, 2007Inclui bibliografi

Classe de métodos Chebyshev-Halley inexata livre de tensores com convergência cúbica para resolução de sistemas não lineares e um estudo sobre o raio de convergência

Resumo: Esta tese introduz dois novos resultados sobre a Classe Chebyshev-Halley para resolução de sistemas não-lineares. Os métodos dessa classe possuem convergência cúbica, tendo portanto uma taxa de convergência superior a do método de Newton. Em contrapartida, esses métodos são mais caros computacionalmente, por necessitarem de derivadas de segunda ordem. O primeiro resultado apresentado _e um resultado teórico. Introduzimos um novo raio de convergência para a Classe Chebyshev-Halley, ou seja, mostramos que dado qualquer ponto inicial pertencente à uma bola centrada em uma solução com o novo raio, a sequência gerada por qualquer método da Classe Chebyshev-Halley é bem definida e converge para a respectiva solução com taxa de convergência cúbica. Comparamos com o raio utilizado na prova de convergência dada no livro Numerische Losung Nichtlinearer Gleichungen [70] para os métodos Halley, Chebyshev e Super-Halley, através de alguns exemplos. As comparações apresentadas sugerem perspectivas futuras, tais como determinar o raio ótimo de convergência. O segundo resultado apresentado é a introdução de uma nova classe de métodos, chamada Classe Chebyshev-Halley Inexata livre de tensores, cujo objetivo _e baratear o custo computacional da Classe Chebyshev-Halley, no que tange o uso da derivada de segunda ordem e a resolução de dois sistemas lineares. A grosso modo, não utilizamos informações de derivada de segunda ordem e os dois sistemas lineares, necessários para a obtenção do passo, podem ser resolvidos de maneira inexata. Além de apresentar a prova de convergência, mostramos que, dependendo das hipóteses, os métodos dessa classe podem ter taxa de convergência superlinear, quadrática, superquadrática e cúbica. Mostramos também que essas hipóteses são bastante razoáveis. Porém, comparações numéricas são apresentadas, mostrando uma melhoria significativa quando se usa a estratégia inexata livre de tensores, proposta nesta tese, nos métodos clássicos da Classe Chebyshev-Halley